Комплексные числа и действия с ними

Владивосток 1998 1. История развития комплексных чисел.

Введение комплексных чисел было связано с открытием решения кубического уравнения, т.е. ещё в 16 веке. И до этого открытия при решении квадратного уравнения x 2 + + = px приходилось сталкиваться со случаем, когда требовалось извлечь квадратный корень из ( p/2) 2 - q, где величина ( p/2) 2 была меньше, чем q . Но в таком случае заключали, что уравнение не имеет решений. О введении новых (комплексных) чисел в это время (когда даже отрицательные числа считались “ложными”) не могло быть и мысли. Но при решении кубического уравнения по правилу Тартальи оказалось, что без действий над мнимыми числами нельзя получить действительный корень.

Теория комплексных чисел развивалась медленно: ещё в 18 веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но самое существование комплексных чисел многим казалось сомнительным.

Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал и в 18 веке русский академик Эйлер – один из величайших математиков всех времён и народов. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831 г. когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом (Германия), он стал всеобщим достоянием. 2.О комплексных числах.

Всвязи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Онии называются комплексными.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0). Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно –1, т.е. i 2 = -1. (1) Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия : “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i , потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. 3 . Соглашение о комплексных числах. 1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i) . П р и м е р ы.

Запись 3 + 0 i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0 i означает –2. 2. Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi . 3. Два комплекных a + bi, a’ + b’i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a’, b = b’ . В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство : 2 + 5i = 8 + 2i , то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом. З а м е ч а н и е. Мы еще не определили, что такое с л о ж е н и е комплексных чисел.

Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i . Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел : 2 (а бсцисса) и 5 (ордината) ; эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i . 4. Сложение комплексных чисел О п р е д е л е н и е.

Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число (a + a’) + (b + b’)i . Это определение подсказывается правилами действий с обачными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i . Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9) . Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4 В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу. З а м е ч а н и е.

Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi . Так, число 2 и число 5 i в сумме дают число 2 + 5i . 4.Вычитание комплексных чисел. О п р е д е л е н и е.

Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i. Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6 5.Умножение комплексных чисел.

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2 = - 1. В силу требования 1) произведение ( a + bi)(a’ + b’i) должно равняться aa’ + (ab’ + ba’)i + bb’i 2 , а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение. О п р е д е л е н и е.

Произведени е м комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число ( aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i. З а м е ч а н и е 1. Равенство i 2 = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования.

Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 , т. е. i*i , равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ – bb’ = -1 , ab’ + ba’ = 0 , так что произведение есть –1 + 0i , т. е. –1. З а м е ч а н и е 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i 2 = -1. Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i. Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2 Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число. 6. Деление комплексных чисел.

Всоответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение. О п р е д л е н и е.

Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi , которое, будучи помножено на делитель, даст делимое. Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно ( доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 – 4i) :(3 + 2i). Записав дробь ( 7 – 4i)/(3 + 2i) , расширяем её на число 3 – 2i , сопряженное с 3 + 2i . Получим : ((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i. Пример 1 предудущего параграфа даёт проверку.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i. Проступая, как в примерах 1 и 2, найдем общую формулу: Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’ . Получим a + bi. З а м е ч а н и е 1. Формулу (1) было бы принять за определение деления. З а м е ч а н и е 2. Формулу (1) можно вывести ещё следующим образом.

Согласно определению, мы должны иметь : (a’ + b’i)(x + yi) = a + bi . Значит, должны удовлетворяться следующие два уравнения : a’x – b’y = a; b’x + a’y = b. Эта система имеет единственное решение: если a’/b’ = -b’/a’ , т. е. если a’ 2 + b’ 2 = 0 . Остается рассмотреть случай a’ 2 + b’ 2 = 0 . Он возможен лишь тогда, когда a’ = 0 и b’ = 0, т. е. когда делитель a’ + b’i равен нулю. Если при этом и делимое a + bi равно нулю, то частное неопределено. Если же делимое не равно нулю, то частное не существует (говорят, что оно равно бесконечности). 7. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на фиг.1, где точка А изображает число ; а точка В – число –5. Эти же числа можно изображать также отрезками ОА,ОВ, учитывая не только их длину, но и направление.

Каждая точка М “числовой прямой” изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОМ соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим ). Таким образом, на числовой прямой не остаётся места для комплексных чисел. Но комплексные числа можно изобразить на числовой плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (фиг.2). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х ( на фиг.2 х=ОР= = QM ) равна абсциссе а комплексного, а ордината у ( OQ=РM) равна ординате b комплексного числа. П р и м е р ы. На фиг. 3 точка А с абсциссой х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i . Точка В изображает комплексное число –2 + 6i ; точка С – комплексное число – 6 – 2i ; точка D – комплексное число 2 – 6i . Действительные числа ( в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси Х, а чисто мнимые – точками оси У. П р и м е р ы. Точка К на фиг. 3 изображает действительное число 6, точка L – чисто мнимое число 3i ; точка N – чисто мнимое число – 4 i . Начало координат изображают число 0. Сопряжённые комплексные числа изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки С и С ’ на фиг. 3 изображают сопряжённые числа –6 – 2i и - 6 + 2i . Комплексные можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число -2 + 6i можно изобразить не только точкой В (фиг. 4), но также вектором ОВ; комплексное число –6 – 2i изображается вектором ОС и т. д. З а м е ч а н и е. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка. 8. Модуль и аргумент комплексного числа. Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого комплексного числа.

Модуль всякого комплексного числа, не равного нулю, есть положительное число.

Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | , а также буквой r . Из чертежа видно, что r = | a + bi | = a 2 + b 2 Модуль действительного числа совпадает с его абсолютным значением.

Сопряжённые комплексные числа a + bi u a – bi имеют один и тот же модуль. 9. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Пусть векторы ОМ и ОМ ’ (фиг. 4) изображают комплексные числа z= x + yi u z’ = x’ + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM’ . Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.