Внимание! infodiplom.ru не продает дипломы, аттестаты об образовании и иные документы об образовании. Все услуги на сайте предоставляются исключительно в рамках законодательства РФ.
Денежный рынок. 6. Денежно-кредитная политика. Ее инструменты. 6.1 Политика дешевых и дорогих денег. 7. Инфляция. 8. Основные причины инфляции в России. 1. Спад производства. 2. Отсутствие безработицы
Сущность, понятие и основные черты акционерного общества. II. Создание акционерного общества. III. Учреждение акционерного общества. IV. Структура акционерного общества. 1) Правление. 2) Контрольный с
Помимо этого, предприятие должно быть в состоянии поставлять товары лучшего качества по более низкой цене или предоставлять услуги лучшие, чем у конкурентов. Менеджмент позволяет предприятию быть неч
Таково самое общее определение агрессии. Часто агрессивное поведение проявляется уже на ранних стадиях онтогенеза, что может приводить к уничтожению самого младшего детёныша (каинизм), а иногда и к по
Основы современных экономических знаний. Введение Коренной методологический недостаток всех предшествующих программ перехода к рынку заключается в том, что их авторы не отвечали на главный вопрос - ч
Рациональность такой организации доказана практикой. Можно дать несколько определений рынка. Рынок – это обмен, организованный по законам товарного производства и обращения, совокупность отношений тов
Станки бывают одноили многопильные (концеравнители). На многопильных станках можно выпиливать одновременно несколько кратных заготовок. Продольный раскрой пиломатериалов и заготовок осуществляют на к
Важной задачей является проблема привлечения инвестиций, в том числе и зарубежных, в действующие и развивающиеся предприятия. Для этого необходимо аргументировать и обосновать оформление проектов (пре
Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний : техническое конструирование , строительство и архитектуру , астрономию , физику , химию , биологию и , наконец , общественные науки . Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в . Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками . Отсутствовала единая система понятий, единая терминология . Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания . Термин 'модель' широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений . Рассмотрим только такие 'модели', которые являются инструментами получения знаний . Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте - оригинале . Под моделирование понимается процесс построения , изучения и применения моделей . Оно тесно связано с такими категориями , как абстракция , аналогия , гипотеза и др . Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций , и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.
Главная особенность моделирования в том , что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей . Модель выступает как своеобразный инструмент познания , который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект . Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций , аналогий , гипотез , других категорий и методов познания . Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты ( или проблемы , относящиеся к этим объектам ) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.
Моделирование - циклический процесс . Это означает , что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй , третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и точняются, а исходная модель постепенно совершенствуется . Недостатки , обнаруженные после первого цикла моделирования , бусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели , можно исправить в последующих циклах . В методологии моделирования , таким образом , заложены большие возможности саморазвития . Словесное описание Фирма , производящая некоторую продукцию осуществляет её рекламу двумя способами через радиосеть и через телевидение . Стоимость рекламы на радио обходится фирме в 5 $ , а стоимость телерекламы - в 100 $ за минуту . Фирма готова тратить на рекламу по 1000 $ в месяц . Так же известно , что фирма готова рекламировать свою продукцию по радио по крайней мере в 2 раза чаще , чем по телевидению . Опыт предыдущих лет показал , что телереклама приносит в 25 раз больший сбыт продукции нежели радиореклама . Задача заключается в правильном распределении финансовых средств фирмы . Математическое описание . X 1 - время потраченное на радиорекламу . X 2 - время потраченное на телерекламу . Z - искомая целевая функция , оражающая максимальный сбыт от 2-ух видов рекламы . X 1 =>0 , X 2 =>0 , Z=>0 ; Max Z = X 1 + 25X 2 ; 5X 1 + 100X 2 X 1 -2X 2 => 0 Использование графического способа удобно только при решении задач ЛП с двумя переменными . При большем числе переменных необходимо применение алгебраического аппарата . В данной главе рассматривается общий метод решения задач ЛП , называемый симплекс-методом . Информация , которую можно получить с помощью симплекс-метода , не ограничивается лишь оптимальными значениями переменных . Симплекс-метод фактически позволяет дать экономическую интерепритацию полученного решения и провести анализ модели на чувствительность . Процесс решения задачи линейного программирования носит итерационный характер : однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор , пока не будет получено оптимальное решение . Процедуры , реализуемые в рамках симплекс-метода , требуют применения вычислительных машин - мощного средства решения задач линейного программирования . Симлекс-метод - это характерный пример итерационных вычислений , используемых при решении большинства оптимизационных задач . В данной главе рассматриваются итерационные процедуры такого рода , обеспечивающие решение задач с помощью моделей исследования операций . В гл 2 было показано , что правая и левая части ограничений линейной модели могут быть связаны знаками и => . Кроме того , переменные , фигурирующие в задачах ЛП , могут быть неотрицательными или не иметь ограничения в знаке . Для построения общего метода решения задач ЛП соответствующие модели должны быть представлены в некоторой форме , которую назовем стандатрной формой линейных оптимизационных моделей . При стандартной форме линейной модели 1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью ; 2. Значения всех переменных модели неотрицательны ; 3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации . Покажем , каким образом любую линейную модель можно привести к стандартной . Ограничения 1. Исходное ограничение , записанное в виде неравенства типа =>) , можно представить в виде равенства , прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения ( вычитая избыточную переменную из левой части ) . Например , в левую часть исходного ограничения 5X 1 + 100X 2 вводистя остаточная переменная S 1 > 0 , в результате чего исходное неравенство обращается в равенство 5X 1 + 100X 2 + S 1 = 1000 , S 1 => 0 Если исходное ограничение определяет расход некоторого ресурса , переменную S 1 следует интерпретировать как остаток , или неиспользованную часть , данного ресурса . Рассмотрим исходное ограничение другого типа : X 1 - 2 X 2 => 0 Так как левая часть этого ограничения не может быть меньше правой , для обращения исходного неравенства в равенство вычтем из его левой части избыточную переменную S 2 > 0 . В результате получим X 1 - 2 X 2 - S 2 = 0 , S 2 => 0 2. Правую часть равенства всегда можно сделать неотрицательной , умножая оби части на -1 . Например равенство X 1 - 2 X 2 - S 2 = 0 эквивалентно равенству - X 1 + 2 X 2 + S 2 = 0 3. Знак неравенства изменяется на противоположный при умножении обеих частей на -1 . Например можно вместо 2 4 записать - 2 > - 4 , неравенство X 1 - 2 X 2 заменить на - X 1 + 2 X 2 => 0 Переменные Любую переменную Y i , не имеющую ограничение в знаке , можно представить как разность двух неотрицательных переменных : Y i =Y i ’-Y i ’’, где Y i ’,Y i ’’=>0. Такую подстановку следует использовать во всех ограничениях , которые содержат исходную переменную Y i , а также в выражении для целевой функции . Обычно находят решение задачи ЛП , в котором фигурируют переменные Y i ’ и Y i ’’ , а затем с помощью обратной подстановки определяют величину Y i . Важная особенность переменных Y i ’ и Y i ’’ состоит в том , что при любом допустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительное значение , т.е. если Y i ’>0 , то Y i ’’=0 , и наоборот . Это позволяет рассматривать Y i ’ как остаточную переменную , а Y i ’’ - как избыточную переменную , причем лишь одна из этих переменных может принимать положительное значение . Указанная закономерность широко используется в целевом программировании и фактически является предпосылкой для использования соответсвующих преобразований в задаче 2.30 Целевая функция Целевая функция линейной оптимизационной модели , представлена в стандартной форме , может подлежать как максимизации , так и минимизации . В некоторых случаях оказывается полезным изменить исходную целевую функцию . Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции , взятой с противоположным знаком , и наоборот . Например максимизация функции Z = X 1 + 25X 2 эквивалентна минимизации функции ( - Z ) = -X 1 - 25X 2 Эквивалентность означает , что при одной и той же совокупности ограничений оптимальные значения X 1 , X 2 , в обоих случаях будут одинаковы . Отличие заключается только в том , что при одинаковых числовых значениях целевых функций их знаки будут противоположны . Симплекс-метод . В вычислительной схеме симплекс-метода реализуется упорядоченный процесс , при котором , начиная с некоторой исходной допустимой угловой точки ( обычно начало координат ) , осуществляются последовательные переходы от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор , пока не будет найдена точка , соответствующая оптимальному решению . Общую идею симплекс-метода можно проиллюстрировать на примере модели , посроенной для нашей задачи . Пространство решений этой задачи представим на рис. 1 . Исходной точкой алгоритма является начало координат ( точка А на рис. 1 ) . Решение , соответствующее этой точке , обычно называют начальным решением . От исходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке . Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс-метода определяется следующими двумя правилами . 1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей . Этот переход осуществляется по границам ( ребрам ) пространства решений . 2. Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться . Таким образом , отыскание оптимального решения начинается с некоторой допустимой угловой точки , и все переходы осуществляются только к смежным точкам , причем перед новым переходом каждая из полученных точек проверяется на оптимальность . Определим пространство решений и угловые точки агебраически . Требуемые соотнощшения устанавливаются из указанного в таблице соответствия геометрических и алгебраических определений .
Геометрическое определение | Алгебраическое определение ( симплекс метод ) |
Пространство решений | Ограничения модели стандартной формы |
Угловые точки | Базисное решение задачи в стандартной форме |
Переменные X 1 , X 2 , S 1 и S 2 , ассоциированные с экстремальными точками А , В , и С мож н о упорядочить , исходя из того , какое значение ( нулевое и л и ненулевое ) имеет данная переменная в экстремальной точке .
Экстремальная точка | Нулевые переменные | Ненулевые переменные |
А | S 2 , X 2 | S 1 , X 1 |
В | S 1 , X 2 | S 2 , X 1 |
С | S 1 , S 2 | X 1 , X 2 |
Однозначные решения такой системы уравнений, получаемые путем п риравн и вания к нулю ( п — т ) переменных , называются базисными решениями . Если базисное реш е ние удовлетворяет требованию неотрицательност и правых частей , оно называется допустимым базисным решением.
Переменные , имеющие нулевое значение , н азываются небазисными переменными , остальные — базисными переменными. Из выше и зложенного следует , что пр и р еа л и зац ии с и м п лексметода алгебраическо е о п ределен ие ба зи сных решен и й соответствует идент и ф и кации экстремальных точек , осуществляемой при геометрическом представлении пространства решений . Таким об - разом , максимальное число и терац и й при использовании симплексметода равно максимальному числу баз и сных решен и й задачи ЛП , представленной в стандартной форме . Это означает , что количество итерац и онных процедур с и мпл е кс-метода н е превышает C п т = n! / [ ( n - m )!m! ] Вторая из ран е е отмеченных законом е р н остей оказывается весьма пол е зной для п остроения вычислит е льных процедур симплекс-метода , при реал и за ц ии которого осуществляется последова - тельный п ер е ход от одной э кстр е мально й точк и к другой, смежной с ней . Так как смежные экстр е мальны е точ к и отличаются только одной п еремен н ой, можно определить каждую последующую ( смежную) экстремальную точку путем зам е ны одной и з текущих небазисных ( нулевых ) переменных текущей базис н ой переменной. В нашем случае получено решение , соотв е тствующее точке А , откуда следует осуществить переход в точку В . Для этого нужн о увел и чи в ать небазисную переменную X 2 от исходного н улевого з н аче н ия до значения , соответствующего точке В ( см. рис. 1 ). В точке B переменная S 1 ( которая в точке А была баз и сной ) автоматическ и обращается в нуль и , следовательно , стано ви тся небазисной п ереме н ной . Таким образом , между множеством небазисных и множеств о м базисных переменных происходит взаимообме н п ерем ен ными X 2 и S 1 . Этот процесс можно нагляд н о пред с тав и ть в виде следующей таблицы.
Экстремальная точка | Нулевые переменные | Ненулевые переменные |
А | S 2 , X 2 | S 1 , X 1 |
В | S 1 , X 2 | S 2 , X 1 |
Рассмотренный процесс взаимной замены переменных приводит к необходимости введения двух новых терминов . Включаемой переменной называется небазисная в данный момент переменная , которая будет включена в множество базисных переменных на следующей итерации ( при переходе к смежной экстремальной точке ) . Исключаемая переменная — это та базисная переменная , которая на следующей итерации подлежит исключению из множества базисных переменных . Вычислительные процедуры симплекс-метода . с имплекс-алгоритм состоит из следующих шагов. Шаг 0. Используя линейную модель стандартной формы , определяют начальное допустимое базисное решение путем приравнивания к нулю п — т ( небазисных ) переменных. Шаг 1. Из числа текущих небазисных ( равных нулю ) переменных выбирается включаемая в новый базис переменная , увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если такой переменной нет , вычисления прекращаются , так как текущее базисное решение оптимально . В противном случае осуществляется переход к шагу 2. Шаг 2. Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная , которая должна принять нулевое значение ( стать небазисной ) при введении в состав базисных новой переменной . Шаг 3. Находится новое базисное решение , соответствующее новым составам небазисных и базисных переменных . Осуществляется переход к шагу 1. Поясним процедуры симплекс-метода на примере решения нашей задачи . Сначала необходимо представить целевую функцию и ограничения модели в стандартной форме: Z - X 1 - 25X 2 +0S 1 -0S 2 = 0 ( Целевая функция ) 5X 1 + 100X 2 + S 1 = 100 0 ( Ограничение ) -X 1 + 2 X 2 + S 2 = 0 ( Ограничение ) Как отмечалось ранее , в качестве начального пробного решения используется решение системы уравнений , в которой две переменные принимаются равными нулю . Это обеспечивает единственность и допустимость получаемого решения . В рассматриваемом случае очевидно, что подстановка X 1 = X 2 = 0 сразу же приводит к следующему результату: S 1 = 1000 , S 2 = 0 ( т. е. решению , соответствующему точке А на рис. 1 ) . Поэтому точку А можно использовать как начальное допустимое решение . Величина Z в этой точке равна нулю , так как и X 1 и X 2 имеют нулевое значение . Поэтому , преобразовав уравнение целевой функции так , чтобы его правая часть стала равной нулю , можно убедиться в том , что правые части уравнений целевой функции и ограничений полностью характеризуют начальное решение . Это имеет место во всех случаях , когда начальный базис состоит из остаточных переменных.
Полученные результаты удобно представить в виде таблицы :
Базисные переменные | Z | X 1 | X 2 | S 1 | S 2 | Решение | |
Z | 1 | -1 | - 25 | 0 | 0 | 0 | Z - уравнение |
S 1 | 0 | 5 | 100 | 1 | 0 | 1000 | S 1 - уравнение |
S 2 | 0 | -1 | 2 | 0 | 1 | 0 | S 2 - уравнение |
Столбец « Базисные переменные » содержит переменные пробного базиса S 1 , S 2 , значения которых приведены в столбце « Решение » . При этом подразумевается , что небазисные переменные X 1 и X 2 ( не представленные в первом столбце ) равны нулю . Значение целевой функции Z = 1*0 + 25*0 + 0*1000 + 0*1 равно нулю , что и показано в последнем столбце таблицы . Определим , является ли полученное пробное решение наилучшим ( оптимальным ) . Анализируя Z - уравнение , нетрудно заметить , что обе небазисные переменные X 1 и X 2 , равные нулю , имеют отрицательные коэффициенты . Всегда выбирается переменная с большим абсолютным значением отрицательного коэффициента ( в Z - уравнении ) , так как практический опыт вычислений показывает , что в этом случае оптимум достигается быстрее . Это правило составляет основу используемого в вычислительной схеме симплекс-метода условия оптимальности , которое состоит в том , что , если в задаче максимизации все небазисные переменные в Z - уравнении имеют неотрицательные коэффициенты , полученное пробное решение является оптимальным . В противном случае в качестве новой базисной переменной следует выбрать ту , которая имеет наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент . Применяя условие оптимальности к исходной таблице , выберем в качестве переменной , включаемой в базис , переменную Х 2 . Исключаемая переменная должна быть выбрана из совокупности базисных переменных S 1 , S 2 . Процедура выбора исключаемой переменной предполагает проверку условия допустимости , требующего , чтобы в качестве исключаемой переменной выбиралась та из переменных текущего базиса , которая первой обращается в нуль при увеличении включаемой переменной X 2 вплоть до значения , соответствующего смежной экстремальной точке . Интересующее нас отношение ( фиксирующее искомую точку пе-ресечения и идентифицирующее исключаемую переменную ) можно определить из симплекс-таблицы. Для этого в столбце , соответствующем вводимой переменной X 2 , вычеркиваются отрицательные и нулевые элементы ограничений . Затем вычисляются отношения постоянных , фигурирующих в правых частях этих ограничений , к оставшимся элементам столбца , соответствующего вводимой переменной X 2 . Исключаемой переменной будет та переменная текущего базиса , для которой указанное выше отношение минимально.
Начальная симплекс-таблица для нашей задачи , получаемая после проверки условия допустимости ( т. е. после вычисления соответствующих отношений и определения исключаемой переменной ) , воспроизведена ниже . Для удобства описания вычислительных процедур , осуществляемых на следующей итерации , введем ряд необходимых определений . Столбец симплекс-таблицы , ассоциированный с вводимой переменной , будем называть ведущим столбцом . Строку , соответствующую исключаемой переменной , назовем ведущей строкой ( уравнением ) , а элемент таблицы , находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки , будем называть ведущим элементом . После того как определены включаемая и исключаемая переменные ( с использованием условий оптимальности и допустимости ) , следующая итерация ( поиск нового базисного решения ) осуществляется методом исключения переменных , или методом Гаусса — Жордана . Этот процесс изменения базиса включает вычислительные процедуры двух типов . Тип 1 ( формирование ведущего уравнения ) . Новая ведущая строка = Предыдущая ведущая строка / Ведущий элемент Тип 2 ( формирование всех остальных уравнений , включая Z - y равнение ) . Новое уравнение = Предыдущее уравнение — Коэффициент ведущего столбца * ( Новая ведущая строка ) . предыдущего уравнения Выполнение процедуры типа 1 приводит к тому , что в новом ведущем уравнении ведущий элемент становится равным единице . В результате осуществления процедуры типа 2 все остальные коэффициенты , фигурирующие в ведущем столбце , становятся равными нулю . Это эквивалентно получению базисного решения путем исключения вводимой переменной из всех уравнений , кроме ведущего . Применяя к исходной таблице процедуру 1 , мы делим S 2 - уравнение на ведущий элемент , равный 1 .
Базисные переменные | Z | X 1 | X 2 | S 1 | S 2 | Решение |
Z | ||||||
S 1 | ||||||
S 2 | 0 | - 1 / 2 | 1 | 0 | 1 / 2 | 0 |
Базисные переменные | Z | X 1 | X 2 | S 1 | S 2 | Решение | |
Z | 1 | - 1 3 1 / 2 | 0 | 0 | 12 1 / 2 | 0 | Z - уравнение |
S 1 | 0 | 5 5 | 0 | 1 | - 5 0 | 1000 | S 1 - уравнение |
X 2 | 0 | - 1 / 2 | 1 | 0 | 1 / 2 | 0 | X 2 - уравнение |
Базисные переменные | Z | X 1 | X 2 | S 1 | S 2 | Решение |
Z | ||||||
S 1 | 0 | 1 | 0 | 1 / 55 | - 50 / 55 | 1000 / 55 |
X 2 |
Базисные переменные | Z | X 1 | X 2 | S 1 | S 2 | Решение |
Z | 1 | 0 | 0 | 27 / 110 | 5 / 2 2 | 245 5 / 11 |
X 1 | 0 | 1 | 0 | 1 / 55 | - 50 / 55 | 100 0 / 5 5 |
X 2 | 0 | 0 | 1 | 1 / 110 | 1 / 22 | 9 1 / 11 |
НАШИ КОНТАКТЫ